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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
3.
[Claudio, el trigonómetra] Un fin de semana largo, Claudio, el trigonómetra, decide hacer un viaje al campo para tomar aire fresco.
b) Luego de un rato de manejar, para a estirar las piernas cerca de un río. Observa un árbol en la orilla opuesta, mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene $43^{\circ}$; retrocede 10 m y mide un nuevo ángulo, obteniendo un resultado de $35^{\circ}$. Sin dudarlo, Claudio calcula la altura del árbol. ¿Qué altura tiene el árbol?
b) Luego de un rato de manejar, para a estirar las piernas cerca de un río. Observa un árbol en la orilla opuesta, mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene $43^{\circ}$; retrocede 10 m y mide un nuevo ángulo, obteniendo un resultado de $35^{\circ}$. Sin dudarlo, Claudio calcula la altura del árbol. ¿Qué altura tiene el árbol?
Respuesta
De nuevo, clave en este tipo de ejercicios hacernos un esquema de lo que está pasando. Este es que hice yo recién. Además fijate que llamé $h$ a la altura del árbol y $x$ a la distancia entre Claudio y el árbol cuando hizo la primera medición.
Reportar problema
Ahora quiero que mires con atención este esquema y veas que nos quedaron delimitados dos triángulos rectángulos.
✅ Primera medición: Tenemos un triángulo rectángulo donde tenemos el ángulo de $43°$ y el lado adyacente es $x$ y el opuesto es $h$. Por lo tanto,
$ \tan(43^\circ) = \frac{h}{x} $
✅ Segunda medición: Tenemos un triángulo rectángulo donde tenemos el ángulo de $35°$ y el lado adyacente es $10 + x$ y el opuesto es $h$. Por lo tanto,
$ \tan(35^\circ) = \frac{h}{x + 10} $
¿Y qué tenemos acá? Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $h$ y $x$. Hay varias maneras de resolverlo, una que podemos usar es, despejar $h$ de ambas...
$ h = x \tan(43^\circ) $
$ h = (x + 10) \tan(35^\circ) $
y ahora las podemos igualar!
$ x \tan(43^\circ) = (x + 10) \tan(35^\circ) $
y acá la única incógnita es $x$, despejamos...
$ x \tan(43^\circ) = x \tan(35^\circ) + 10 \tan(35^\circ) $
$ x (\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)) = 10 \tan(35^\circ) $
$ x = \frac{10 \tan(35^\circ)}{\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)} $
Haciendo la cuenta en la calculadora, obtenemos que...
$x \approx 30.14$ metros.
Y ahora volvemos a cualquiera de las ecuaciones, reemplazamos y obtenemos la altura del árbol 🌳
$ h = x \tan(43^\circ) $
$h = \frac{10 \tan(35^\circ)}{\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)} \cdot \tan(43^\circ) $
Y haciendo la cuenta en la calculadora nos da...
$h \approx 28.11$ metros.